Para quem utiliza o Terminal no Linux, mesmo que já tenha alguma experiência, a palavra dist-upgrade ainda gera bastante confusão e, ao contrário do que muita gente imagina, não vai atualizar sua distribuição para uma versão mais nova como por exemplo da Ubuntu 14.10 para a 15.04.
Para auxiliar nesta explicação, vou apelar para o manual do comando man apt-get.
upgrade
upgrade é usado para instalar as versões mais recentes de todos os pacotes presentemente instalados no sistema a partir das fontes enumeradas em /etc/apt/sources.list. Os pacotes presentemente instalados com versões novas são obtidos e instalados; em nenhumas circunstâncias os pacotes presentemente instalados serão removidos, nem pacotes já instalados serão obtidos e instalados. Os pacotes presentemente instalados com novas versões e que não possam ser atualizados sem alterarem o estado da instalação de outro pacote serão deixados na versão presente. Deve ser executado primeiro um update para que o apt-get fique a saber que estão disponíveis novas versões de pacotes.
dist-upgrade
dist-upgrade adicionalmente a executar a função do upgrade, também lida inteligentemente com as alterações de dependências com as novas versões de pacotes; o apt-get tem um sistema de resolução de conflitos “inteligente”, que irá tentar atualizar os pacotes mais importantes a custo dos pacotes menos importantes, caso necessário. Portanto, o comando dist-upgrade pode remover alguns pacotes. O arquivo /etc/apt/sources.list contém uma lista de localizações de onde obter os ficheiros de pacotes desejados. Veja também apt_preferences para um mecanismo para sobrepor as definições gerais em pacotes individuais.
Resumindo: Os dois comandos irão atualizar os pacotes já instalados no seu sistema, porém o dist-upgrade é mais completo e inteligente. Provavelmente você terá menos problemas futuros se utilizar o dist-upgrade ao invés de utilizar apenas o upgrade.
Atualização: Em distribuições Linux mais recentes, o comando apt é o substituto recomendado para apt-get. Portanto, você pode usar apt upgrade e apt dist-upgrade da mesma forma.
Ainda ficou alguma dúvida sobre as duas opções do comando apt-get? Mande sua pergunta nos comentários que responderemos assim que possível.